模拟试卷（一）
一. 选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。
*1. 当 时， 与 比较是（ ）
A. 是较 高阶的无穷小量
B. 是较 低阶的无穷小量
C. 与 是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量
D. 与 是等价无穷小量
解析：
故选C。
*2. 设函数 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
解析：
选C
3. 设 ，则向量 在向量 上的投影为（ ）
A. B. 1 C. D.
*4. 设 是二阶线性常系数微分方程 的两个特解，则 （ ）
A. 是所给方程的解，但不是通解
B. 是所给方程的解，但不一定是通解
C. 是所给方程的通解
D. 不是所给方程的通解
解：当 线性无关时， 是方程 的通解；当 线性相关时，不是通解，故应选B。
*5. 设幂级数 在 处收敛，则该级数在 处必定（ ）
A. 发散 B. 条件收敛
C. 绝对收敛 D. 敛散性不能确定
解： 在 处收敛，故幂级数的收敛半径 ，收敛区间 ，而 ，故 在 处绝对收敛。
故应选C。
二. 填空题：本大题共10个小题，10个空。每空4分，共40分，把答案写在题中横线上。
6. 设 ，则 _________。
7. ，则 __________。
8. 函数 在区间 上的最小值是__________。
9. 设 ，则 __________。
*10. 定积分 __________。
解：
*11. 广义积分 __________。
解：
*12. 设 ，则 __________。
13. 微分方程 的通解为__________。
*14. 幂级数 的收敛半径为__________。
解：
，所以收敛半径为
15. 设区域D由y轴， ， 所围成，则 __________。
三. 解答题：本大题共13个小题，共90分，第16题～第25题每小题6分，第26题～第28题每小题10分。解答时要求写出推理，演算步骤。
16. 求极限 。
*17. 设 ，试确定k的值使 在点 处连续。
解：
要使 在 处连续，应有
18. 设 ，求曲线上点（1，2e+1）处的切线方程。
19. 设 是 的原函数，求 。
20. 设 ，求 。
*21. 已知平面 ， 。
求过点 且与平面 都垂直的平面的方程。
的法向量为 ， 的法向量
所求平面 与 都垂直，故 的法向量为
所求平面又过点 ，故其方程为：
即：
22. 判定级数 的收敛性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。
*23. 求微分方程 满足初始条件 的特解。
由 ，故所求特解为
*24. 求 ，其中区域D是由曲线 及 所围成。
因区域关于y轴对称，而x是奇函数，故
*25. 求微分方程 的通解。
解：特征方程：
故对应的齐次方程 的通解为 （1）
因 是特征值，故可设特解为
代入原方程并整理得：
故所求通解为：
26. 求函数 的极值点与极值，并指出曲线的凸凹区间。
*27. 将函数 展开成x的幂级数。
*28. 求函数 的极值点与极植。
解：令
解得唯一的驻点（2，-2）
由 且 ，知（2，-2）是 的极大值点
极大值为
【试题答案】
一.
1.
故选C。
2.
选C
3. 解： 上的投影为：
应选B
4. 解：当 线性无关时， 是方程 的通解；当 线性相关时，不是通解，故应选B。
5. 解： 在 处收敛，故幂级数的收敛半径 ，收敛区间 ，而 ，故 在 处绝对收敛。
故应选C。
二.
6. 解：
令 得：
7. 由
8. 解： ，故y在[1，5]上严格单调递增，于是最小值是 。
9. 解：
10. 解：
11. 解：
12.
13. 解：特征方程为：
通解为
14. 解：
，所以收敛半径为
15. 解：
三.
16. 解：
17. 解：
要使 在 处连续，应有
18. 解： ，切线的斜率为
切线方程为： ，即
19. 是 的原函数
20. 解：
21. 的法向量为 ， 的法向量
所求平面 与 都垂直，故 的法向量为
所求平面又过点 ，故其方程为：
即：
22. 解： 满足（i） ，（ii）
由莱布尼兹判别法知级数收敛
又因 ，令 ，则
与 同时发散。</ | 
